任务一

工程中常用的巴特沃斯(低通)滤波器，其通带内满足最大平坦的特性。巴特沃斯滤波器的模方函数为:

∣H(jω)∣2=11+(ωωc)2n\displaystyle |H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+(\frac{\omega}{\omega_c})^{2n}}

其中，ωc=500Hz\omega_c=500Hz 为截止频率，nn 为滤波器阶数。试绘制出2~5阶巴特沃斯滤波器的幅频特性曲线，并对其特性进行分析。(提示：∣H(jω)∣2=H(jω)H∗(jω)=H(jω)H(−jω)|H(j\omega)|^2=H(j\omega)H^*(j\omega)=H(j\omega)H(-j\omega) )

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clc,clear all,close all;
w=0:0.001:1000;
wc=500;
for n=2:5
             H1=1./(1+(w/wc).^(2*n));
             plot(H1);
             hold on;
end
legend('阶数为2','阶数为3','阶数为4','阶数为5');
任务一

由图可知，截止频率相同的巴特沃斯滤波器，阶数越高，通带范围越宽，过渡带范围越窄，通带截止频率越大，阻带截止频率越小，且截止频率相同，故不同阶数的巴特沃斯滤波器的幅频特性曲线相交于同一点。

任务二

利用MATLAB函数laplace()求信号f(t)=t+2f(t)=t+2 的拉普拉斯变换。利用函数zplane()根据系统函数H1(s)=s+2s3+s2+2s+6\displaystyle H_1(s)=\frac{s+2}{s^3+s^2+2s+6} 和H2(s)=s2+13s3+5s2+4s+6\displaystyle H_2(s)=\frac{s^2+1}{3s^3+5s^2+4s+6} 画出零、极点分布，并判断系统的稳定性。

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clc,clear all,close all;
syms t s
F1=laplace(t+2,t,s);
figure(1)
ezplot(F1)
figure(2)
b1=[1,2];%分子多项式系数
a1=[1,1,2,6];%分母多项式系数
zplane(b1,a1);
legend('零点','极点');
title('H1(s)零极点分布图');
figure(3)
b2=[1,0,1];%分子多项式系数
a2=[3,5,4,6];%分母多项式系数
zplane(b2,a2);
legend('零点','极点');
title('H2(s)零极点分布图');
image-20210604172206014 image-20210604164845613 image-20210604164821875

对于因果系统，若**H(s)**的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统

由上述两个图像可得，**H1(s)**不稳定，**H2(s)**稳定

任务三

利用MATLAB函数ilaplace()、laplace()等求解系统函数为H(s)=ss2+3s+2\displaystyle H(s)=\frac{s}{s^2+3s+2} 的系统的冲激响应、阶跃响应，以及激励f(t)=cos⁡(20t)ϵ(t)f(t)=\cos(20t)\epsilon(t) 产生的零状态响应，给出运行结果并进行分析。

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clc,clear all,close all;
a=[1 3 2];%构造系数向量
b=[1];
figure(1)
subplot(2,1,1)
impulse(b,a);%求系统的冲激响应并作图
subplot(2,1,2)
step(b,a);%求系统的阶跃响应并作图
sys=tf([1],[1,3,2]);%tf函数获得系统模型sys
t=0:0.01:5;%对t进行离散抽样（0~5单位长度为0.01）
f=cos(20*t).*(t>0)+0.*(t<0);%输入函数
y=lsim(sys,f,t);%求系统的零状态响应
figure(2)
subplot(211)
plot(t,f);
title('输入信号');xlabel('t');
subplot(212)
plot(t,y);
xlabel('t');title('零状态响应');
image-20210604165421478 image-20210604165440056